৬ মিটার দীর্ঘ একটি গাছের ছায়ার দৈর্ঘ্য $৬\sqrt{৩}$ মিটার হলে গাছের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ কত?

গাছটি ভূমির সাথে লম্বভাবে দাঁড়িয়ে থাকায়, গাছের উচ্চতা এবং ছায়ার দৈর্ঘ্য মিলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে। এখানে, গাছের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ (angle of elevation) হল সেই কোণ যা ভূমির সাথে গাছের শীর্ষের সংযোগকারী রেখা তৈরি করে।

আমরা জানি:

    
• গাছের উচ্চতা (লম্ব) \( = 6\) মিটার
    
• ছায়ার দৈর্ঘ্য (ভূমি) \( = 6\sqrt{3}\) মিটার

উন্নতি কোণ \(\theta\) হলে, ত্রিকোণমিতির সূত্রানুযায়ী, লম্ব এবং ভূমির সম্পর্ক হয় tan অনুপাতের মাধ্যমে:

\[ \tan\theta = \frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}} \]

মান বসিয়ে পাই:

\[ \tan\theta = \frac{6}{6\sqrt{3}} \]

সরল করে পাই:

\[ \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \]

আমরা জানি যে, \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\)।

সুতরাং,

\[ \theta = 30^\circ \]

অতএব, গাছের শীর্ষ বিন্দুর উন্নতি কোণ হল 30°।